Dette er et prøvekapitel fra min bog "Matemagi". I alt rummer bogen 121 korte kapitler som dette.

Danmarks kystlinie er 100.000 km lang

En dag i 1904 ville den svenske matematiker Helge von Koch (1870-1924) konstruere et snefnug - og skabte i stedet en fraktal. Han gik ud fra en ligesidet trekant:

... og brød hver side i tredjedels-punkterne for at trække en ny mindre trekant ud:

Resultatet af denne første gentagelse - eller iteration, som matematikerne siger - blev en sekstakket stjerne med i alt tolv lige lange sidekanter (herover).

Og så gjorde han det samme med hver af disse tolv trekanter-sider: Han lod en lille trekant vokse ud, og efter denne anden iteration stod han med det første grove snefnug med 48 sidekanter.

Igen en iteration, og snefnugget var blevet til en mangekant med 192 lige lange sider ...

... der i næste omgang hver især fik sin egen lille trekant. Resultat: 768 lige lange - eller korte - sidekanter.
Ved den femte iteration får snefnugget 3072 sidekanter, og næste gang bliver det til 12.288 og derefter 49.152. Og efter den 15. iteration vil der være over 3 milliarder sidekanter. Og så skal vi vist have mikroskopet frem for at kunne tælle dem ...
For hver iteration vokser længden af snefnuggets omkreds med en tredjedel af sin længde. Men arealet vokser ikke ret meget. Det bliver stadig lidt større, men efter den tredje iteration vokser det kun yderst lidt.
Arealet går imod en grænseværdi, som er nøjagtigt 1,6 gange så stor som arealet af udgangs-trekanten.
Men i mellemtiden er omkredsen blevet uendelig lang. Og den vokser stadig. Man kan sige, at vi står med et begrænset areal med en grænseløs lang omkreds. Vi kan male snefnugget med en lille smule maling - og en meget fin pensel, naturligvis - men ingen snor vil kunne nå rundt langs den takkede omkreds.
Helge von Kochs snefnug er en fraktal - et ord, der kommer af det latinske fractus, som betyder brudt. Fraktaler har netop et brudt og kantet mønster, og mønsteret bliver ved med at være det samme efter mange iterationer, også når det bliver forstørret. Man zoomer ind på det og ser stadig de samme knæk og trekanter.

En kystlinie har det på samme måde som Kochs snefnug: Zoomer vi ind på kysten, udviser den i det små de samme former som i den store målestok.

Matematikeren Benoit B. Mandelbrot (f. 1924) har sammenlignet kurven omkring Kochs snefnug med en kystlinie, hvis længde det faktisk er umuligt at måle. For hvor lang er fx kysten omkring Danmark? 7314 km, står der i mit leksikon. Men det er skam en sandhed med modifikationer. Måler man på kortet i et skoleatlas, er kysten måske kun 5000 km. Måler man på Kort- og Matrikelstyrelsens målebordsblade og kommer ind og ud i alle bugter og vige, så får man et større tal. Sætter man sig i strandkanten, ser man egentlig stadig det samme mønster - kysten bugter sig ud og ind ligesom den »store« kyst på landkortet - men nu er den meget længere. Og måler man kystlinien rundt om alle småsten og strandede vandmænd, bliver den lige pludselig meget lang - for slet ikke at tale om, hvis man tager luppen frem og måler rundt om hvert eneste af de uendeligt mange sandkorn, der danner Danmarks virkelige grænse mod havet.
Vi kan roligt påstå, at Danmarks kystlinie aldeles ikke er 7314 km, men snarere 100.000 km. Mindst!